Hãy để TTnguyen giới thiệu cho bạn về các kiến thức về bảng phân phối xác suất trong xác suất thống kê. Với những bài tập minh họa và lời giải dễ hiểu, bạn sẽ dễ dàng nắm bắt và thực hành các kiến thức này.
1. Hàm xác suất
Định nghĩa hàm xác suất
Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X với các giá trị có thể là (x_1, x_2,..,x_n) được ký hiệu là p(x) và được xác định như sau:
(p(x) = P(X=x)) với (x = x_1, x_2,..,x_n)
Tính chất của hàm xác suất
- p(x) ≥ 0
- ∑ p(x_i) = 1
Ví dụ về hàm xác suất
Ví dụ: Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất 1 lần. Gọi X là số chấm xuất hiện. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị 1, 2, … ,6. Khi đó hàm xác suất tương ứng là:
- p(1) = 1/6
- p(2) = 1/6
- p(3) = 1/6
- p(4) = 1/6
- p(5) = 1/6
- p(6) = 1/6
2. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc một chiều
Khái niệm
Bảng phân phối xác suất chuẩn dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Bảng gồm 2 dòng:
- Dòng trên ghi các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên là: (x_1, x_2,..,x_n)
- Dòng dưới ghi các xác suất tương ứng là: (P_1, P_2,..,P_n)
Ví dụ về bảng phân phối xác suất:
| X | x_1 | x_2 | x_3 | x_4 | x_5 | x_n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | P(x_1) | P(x_2) | P(x_3) | P(x_4) | P(x_5) | P(x_n) |
Tính chất bảng phân phối xác suất
Từ tính chất của hàm xác suất ta có:
- 0 ≤ p(x_i) ≤ 1
- ∑ p(x_i) = 1
Đồ thị phân phối xác suất
- Biểu diễn các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên nằm trên trục ngang (trục hoành)
- Biểu diễn các xác suất của các biến cố tương ứng với các giá trị đó nằm trên trục thẳng đứng (trục tung). Khi đó đồ thị xác suất được biểu diễn bởi đoạn thẳng (thanh thẳng đứng) mà độ cao của nó bằng xác suất.
3. Hàm phân phối xác suất - Hàm phân phối tích lũy
Định nghĩa
Hàm phân phối xác suất (hàm phân phối tích lũy) của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là F(x).
Biểu thức
Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X với các giá trị có thể là (x_1, x_2,…,x_k) và các xác suất tương ứng là (p(x_1)+p(x_2)+…+p(x_k)) thì biểu thức cụ thể của hàm phân phối tích lũy được cho như sau:
Đồ thị hàm phân phối tích lũy
Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên rời rạc là hàm không liên tục (gián đoạn tại các giá trị có thể của nó). Đồ thị của hàm phân phối tích lũy có dạng hình bậc thang.
4. Kỳ vọng - Trung bình
- Kỳ vọng (giá trị trung bình) của X là E(X) hoặc μ
5. Phương sai
- Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu σ2 hoặc V(X) là giá trị trung bình trọng số (kỳ vọng) của bình phương các sai lệch giữa các giá trị x1, x2, … ,xk của biến ngẫu nhiên X với giá trị trung bình μ của nó:
6. Độ lệch chuẩn
- Độ lệch chuẩn của X, ký hiệu σ(X), là:
7. Ví dụ tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn
Dưới đây là một số bài tập về lập bảng phân phối xác suất và các khái niệm liên quan có lời giải.
Bài 1: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân phối xác suất được cho như sau:
X: -2 -1 0 1 2 P(X): 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
a) P(X ≤ 2); P(X > -2); P(-1 ≤ X ≤ 1); P(X ≤ -1 hoặc X = 2). b) Xác định hàm phân phối tích lũy và tính các xác suất sau: P(X ≤ 1.25); P(X ≤ 2.2). c) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Giải: a. P(X) = 1/8 + 2/8 + 2/8 + 2/8 + 1/8 = 1 P(X > -2) = 2/8 + 2/8 + 2/8 + 1/8 = 7/8 P(-1 ≤ X ≤ 1) = 2/8 + 2/8 + 2/8 = 6/8 P(X ≤ -1 hoặc X = 2) = 1/8 + 2/8 + 1/8 = 1/2
b. Hàm phân phối tích lũy: 
Vậy P(X ≤ 1.25) = 7/8; P(X ≤ 2.2) = 1.
c. Kỳ vọng và phương sai của X: E(X) = -2.1/8 + -1.2/8 + 0.2/8 + 1.2/8 + 2.1/8 = 0 V(X) = [(-2)^2.1/8 + (-1)^2.2/8 + 0^2.2/8 + 1^2.2/8 + 2^2.1/8] - 0^2 = 1.25
Bài 2: Một nhân viên kỹ thuật của một công ty đã đưa ra một sản phẩm mới. Công ty ước tính nếu đưa sản phẩm ra thị trường thì xác suất rất thành công là 0.6, xác suất thành công là 0.3 và xác suất không thành công là 0.1. Thu nhập tương ứng cho các trường hợp này là 15 triệu đô la, 5 triệu đô la và -500,000 đô la. Gọi X là biến ngẫu nhiên thu nhập nhận được.
a) Lập bản phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. b) Xác định hàm phân phối tích lũy của X. c) Xác định kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Giải: a. Hàm xác suất thu nhập nhận được là: X: -500,000 5 triệu 15 triệu P: 0.1 0.3 0.6
b. Hàm phân phối tích lũy: 
c. Kỳ vọng E(X) = -500,000.0.1 + 5,000,000.0.3 + 15,000,000.0.6 = 10,450,000 V(X) = [(-500,000)^2.0.1 + (5,000,000)^2.0.3 + (15,000,000)^2.0.6] - (10,450,000)^2 = 3.33×10^13
Bài 3: Một nhóm học sinh có 10 em, trong đó có 3 em học loại giỏi, 4 em học loại khá, còn lại là trung bình. Từ nhóm đó chọn ngẫu nhiên ra 3 học sinh. Gọi X là số học sinh giỏi trong số học sinh chọn ra.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X. b) Viết biểu thức hàm phân phối xác suất của X. c) Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. d) Tính xác suất để trong số học sinh chọn ra có ít nhất 1 học sinh giỏi.
Giải: a. Bảng phân phối xác suất của X: X: 0 1 2 3 P: 7/24 21/40 7/40 1/120
b. Hàm phân phối xác suất của X: 
c. Kỳ vọng E(X) = 0.7/24 + 21/40 + 2.7/40 + 3.1/120 = 9/10 V(X) = [(0)^2.7/24 + (1)^2.21/40 + (2)^2.7/40 + (3)^2.1/120] - (9/10)^2 = 67/50
d. Xác suất để chọn ra ít nhất 1 học sinh giỏi là: 21/40 + 2.7/40 + 3.1/120 = 9/10
Bài 4: Một siêu thị có 3 chuông báo cháy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất làm việc tốt (chuông kêu khi có cháy) trong 1 năm của mỗi chuông lần lượt là 0.7; 0.8; 0.9. Gọi X là số chuông kêu khi có cháy trong một năm tới ở siêu thị đó.
a) Lập bảng phân phối của X. b) Viết biểu thức hàm phân phối tích lũy của X. c) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Giải: A là biến cố chuông I kêu khi có cháy. B là biến cố chuông II kêu khi có cháy. C là biến cố chuông III kêu khi có cháy.
P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9
a. Bảng phân phối xác suất của X: X: 0 1 2 3 P: 0.006 0.092 0.398 0.504
b. Hàm phân phối tích lũy của X: 
c. Kỳ vọng E(X) = 0.006.0 + 0.092.1 + 0.398.2 + 0.504.3 = 2.4 V(X) = [0^2.0.006 + 1^2.0.092 + 2^2.0.398 + 3^2.0.504] - 2.4^2 = 0.46
Bài 5: Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư, xác suất gặp đèn đỏ ở các ngã tư đều bằng 0.4. Gọi X là số ngã tư mà người đó gặp đèn đỏ.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X. b) Viết biểu thức hàm phân phối tích lũy của X. c) Tính kỳ vọng, phương sai của X. d) Nếu mỗi lần gặp đèn đỏ người ấy phải đợi khoảng 1.2 phút thì thời gian trung bình phải dừng trên đường là bao nhiêu?
Giải: A là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất. B là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ hai. C là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ ba.
P(A) = P(B) = P(C) = 0.4
a. Bảng phân phối xác suất của X: X: 0 1 2 3 P: 0.216 0.432 0.288 0.064
b. Hàm phân phối tích lũy của X: 
c. Kỳ vọng E(X) = 1.2 V(X) = [(0)^2.0.216 + (1)^2.0.432 + (2)^2.0.288 + (3)^2.0.064] - (1.2)^2 = 0.72
d. Gọi Y là thời gian dừng đèn đỏ. X = 0 => Y = 0 => P(Y) = 0.216 X = 1 => Y = 1.2 => P(Y) = 0.432 X = 2 => Y = 2.4 => P(Y) = 0.288 X = 3 => Y = 3.6 => P(Y) = 0.064
Thời gian trung bình phải dừng trên đường là: E(Y) = 0.0.216 + 1.2.0.432 + 2.4.0.288 + 3.6.0.064 = 1.44
Bài 6: Có 2 nhóm sinh viên. Nhóm thứ nhất có 4 nam và 6 nữ. Nhóm thứ 2 có 3 nam và 7 nữ.
a) Từ mỗi nhóm chọn ngẫu nhiên ra 1 sinh viên. Gọi X là số sinh viên nam trong số sinh viên chọn ra. i. Lập bảng phân phối của X. ii. Tính xác suất để trong số sinh viên chọn ra có ít nhất một nam.
b) Từ nhóm thứ nhất chọn ngẫu nhiên ra 2 sinh viên và từ nhóm thứ hai chọn ngẫu nhiên ra 1 sinh viên. Gọi X là số sinh viên nữ trong số sinh viên chọn ra. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
Giải: a. i. Bảng phân phối của X: X: 0 1 P: 7/24 17/24
ii. Xác suất để trong số sinh viên chọn ra có ít nhất một nam là: 17/24
b. Bảng phân phối xác suất của X: X: 0 1 2 3 P: 1/25 19/75 71/150 7/30
Bài 8: Một người có 5 viên đạn dùng để thử súng. Người đó bắn từng viên cho đến khi trúng tâm thị dừng bắn. Biết rằng xác suất bắn trúng tâm của người đó bằng 0.9.
a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X - số viên đạn đã tiêu thụ. b) Tính kỳ vọng và phương sai của X. c) Gọi Y là số viên đạn còn thừa. Tìm quy luật phân phối xác suất của Y.
Giải: A là biến cố bắn trúng. (overline{A}) là biến cố bắn trượt.
TH1: bắn trúng 1 viên: P1=A=0.9 TH2: bắn trúng 2 viên: P2=(overline{A}A)=0.1.0.9=0.09 TH3: bắn trúng 3 viên: P3=(overline{AA}A)=0.1^2.0.9=0.09 TH4: bắn trúng 4 viên: P4=(overline{AAA}A)=0.1^3.0.9=0.009 TH5: bắn trúng 5 viên: P5=(overline{AAAA}A+overline{AAAAA} =0.0004)
- Tỷ lệ của bảng phân phối X X: 1 2 3 4 5 P: 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001
b. Kỳ vọng E(X) = 1.0786 V(X) = 0.26634
c. TH1: P(Y = 0) = P(X = 5) = 0.0001 TH2: P(Y = 1) = P(X = 4) = 0.0009 TH3: P(Y = 2) = P(X = 3) = 0.009 TH4: P(Y = 3) = P(X = 2) = 0.09 TH5: P(Y = 4) = P(X = 1) = 0.9
- Tỷ lệ của bảng phân phối Y Y: 0 1 2 3 4 P: 0.0001 0.0009 0.009 0.09 0.9
Ý nghĩa kỳ vọng:
- Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
- Trong kinh tế, kỳ vọng toán đồng thời mang 2 ý nghĩa: + Nếu xét trong 1 số lớn phép thử tương tự thì nó phản ánh giá trị trung bình + Nếu xét trong 1 phép thử đơn lẻ thì nó phản ánh giá trị mong đợi.
Ý nghĩa phương sai:
- Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình.
- Phương sai càng lớn: phân tán càng nhiều quanh giá trị trung bình còn phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình.
- Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro hay độ biến động (kém ổn định).
Đó là những bài tập về lập bảng phân phối xác suất và các khái niệm liên quan. Hy vọng qua những ví dụ này, bạn đã hiểu rõ hơn về cách lập bảng phân phối xác suất, tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc. Nếu có thêm bất kỳ câu hỏi nào, hãy để lại comment bên dưới. Chúc bạn thành công!
